矩阵的范围和矩阵可逆时的关系是什么?

2019-10-08 11:30
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An是可逆的,r(A)=否| A |≠0。
由于矩阵的秩和秩范围始终相同,因此可以简单地将其称为矩阵A的秩。
通常表示为r(A),rk(A)或等级A。
矩阵m×n的范围是最大的myn的最小值,表示为min(m,n)。
据说最大可能范围矩阵具有整个范围。类似地,如果不是,则将矩阵细分(或称为“欠范围”)。
令A为一组向量,这些向量将A定义为A的独立组中向量数量的范围。
定义1。
在矩阵m * n A中,行k和列k的交点处的元素是任意确定的,并构成A阶k的子矩阵,该子矩阵的行列式称为A阶K的子形式。的
例如,在交错矩阵中,由在1、3行,3和4列的交点处的元素组成的次级子矩阵的行列式是矩阵A的次级子形式。
定义2
A =(aij)m×n的非零子形式的最大程度称为矩阵A的范围,并表示为rA或rangeA或R(A)。
特别地,零矩阵的范围是零。
显然,容易获得rA≤min(m,n)。如果A阶r的至少一个子形式不等于零,并且A阶r + 1与rmin(m,n)的所有子形式都为零,则A的范围为r。
通过定义直接获得的度为n的可逆矩阵的范围为n,可逆矩阵通常称为全范围矩阵det(A)0。不满意的秩矩阵是奇异的,并且det(A)= 0。
由于行列式1(1)的性质。
5[4])已知矩阵A的转置AT的范围与A的范围相同。
例子1
计算以下矩阵的范围:A或行的所有三级子形式均为零。或者,如果两行成比例,则三次子形式全为零,rA = 2。
矩阵范围的座右铭是矩阵A =(aij)sxn的列范围等于A,n的列数,并且A的秩范围等于n。
行的秩,列的秩和定理矩阵的秩是相等的。
定理定理不改变矩阵的秩。
定理矩阵的乘积范围Rab = min{Ra,Rb}; r(A)= n-2,最高非零子形式的阶数为n-2,阶次n-1的子形式为零是的,互补矩阵的每个元素都是一个子形式1,加上度数n-的符号。因此,互补矩阵为矩阵0。
如果r(A)= n-1,则最高非零阶子窗体的阶数= n-1,则所连接的矩阵为零,因为n-1阶子窗体可能不为零除(等号为真)外,伴随矩阵不得为零。